Međunarodni je dan matematike.
Naime, UNESCO je na svojoj Generalnoj konferenciji, u studenome 2019. godine, proglasio 14. ožujka Međunarodnim danom matematike (International Day of Mathematics – IDM) zbog njene važnosti u znanosti i svakodnevnom životu. Današnji se dan ujedno obilježava kao i Dan broja π.
Tim povodom razgovaramo s Matijom Bašićem, docentom na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakulteta Sveučilšta u Zagrebu te Željkom Milin Šipuš, redovitom profesoricom u trajnom zvanju na istom odsjeku.
Bašić se bavi algebarskom topologijom i matematičkim obrazovanjem. Predaje kolegije iz teorije kategorija, metodike nastave matematike, te diferencijalnog i integralnog računa funkcija više varijabli. Aktivno je uključen u organizaciju stručne prakse i drugih aktivnosti usmjerenih na povezivanju studenata s tržištem rada. Voditelj je europskih projekata u matematičkom obrazovanju MERIA i TIME. Predsjednik je Državnog povjerenstva za provedbu natjecanja iz matematike i koordinator Hrvatskog matematičkog društva za međunarodna matematička natjecanja.
Znanstveni interes profesorice Milin Šipuš leži pak u matematici (diferencijalna geometrija) i matematičkom obrazovanju. Bila je voditeljica stručne skupine iz matematike kad su se uvodili i osmišljali ispiti iz matematike na državnoj maturi. Sudjelovala je u europskim projektima u matematičkom obrazovanju MERIA, TIME i STEMkey. Predaje, među ostalim predmetima, i Metodiku nastave matematike studentima nastavničkog smjera Matematičkog odsjeka PMF-a.
DRŽAVNA MATURA KAO VELIKA PREKRETNICA
Nije tajna da su kompetencije naših đaka iz matematičke pismenosti slabe, slabo prolazimo na PISA testovima, na Državnoj maturi 2019. godine postignut je nikad gori rezultati… Gdje griješimo u poučavanju tog predmeta i područja?
Ovo je vrlo zanimljivo pitanje. Naime, svjetski rezultati PISA istraživanja objavljuju se svake tri godine i iz novinskih naslova često se čita da su rezultati naših učenika vrlo slabi. Nije nam drago čitati takvu pojednostavljenu interpretaciju PISA rezultata, interpretaciju samo po „ukupnom plasmanu“, odnosno prema prosjeku zemalja OECD-a. Kao prvo, PISA istraživanje nije krojeno po kurikulumu, nego kao primjena matematike u stvarnim, životnim situacijama. Rješavanje takvih zadataka od učenika očekuje sposobnosti prepoznavanja matematičkih koncepata u kontekstu i jednu mjeru tzv. matematičkog modeliranja. Te se kompetencije ne njeguju direktno u našem kurikulumu i mnoge su države povele raspravu trebaju li se uopće njegovati ili do koje mjere. Kod nas se ta rasprava nije provela. No, bez obzira na PISA rezultate, mi vjerujemo da se može bolje iskoristiti potencijal naših udžbenika u kojima se pojavljuju cjeline pod nazivom „primjena“. Sada se u zadacima primjene od učenika pretežno traži puko uvrštavanje podataka u poznatu formulu, odnosno, utipkavanje u kalkulator. Nema nikakve analize podataka iz konteksta, propitivanje različitih mogućnosti što učiniti, razgovora tipa „ako onda“, kakav „matematički model“ postaviti, interpretacije rezultata. Iako bi to trebalo detaljnije istražiti, moguće je da naši učenici na PISA zadacima imaju osjećaj da „ne znaju odakle početi“. Ipak, ti rezultati ne znače nužno niti da naši učenici ne znaju razmišljati niti da nastavnici ne potiču kritičko mišljenje. Svaki test ima svoje posebnosti i trebalo bi vidjeti do koje su mjere naši učenici motivirani kad pristupaju tim testovima i jesmo li ih ikako pripremili.
S druge strane, pogledamo li rezultate pomnije vidjet ćemo da se kroz nekoliko ciklusa Hrvatska zadržava malo ispod prosjeka OECD-a, a pritom smo u društvu tehnološki i ekonomski vrlo razvijenih zemalja poput SAD-a, Izraela i Švedske. Na samom vrhu su zemlje Dalekog istoka koje, moramo priznati, imaju drugačiju kulturu i rada i obrazovanja, te je nepošteno s njima se uspoređivati samo na razini učeničkih postignuća. PISA istraživanje se diljem svijeta koristi u razne svrhe i različite interesne skupine ga koriste u raspravama o važnosti promjena u obrazovanju, ali kod nas zaista rjeđe vidimo diskusiju svih uključenih institucija koje bi zajedničkim naporima trebale osigurati da se sustav bolje brine o učenicima sa slabijim i srednjim postignućima.
Državna matura je bila velika prekretnica u hrvatskom obrazovanju i važno je sagledati trendove koje je donijela i donosi. Jedan podatak koji bi mogao biti zanimljiv je da je prije uvođenja Državne mature oko 8000 učenika pristupalo nekoj vrsti prijemnog ispita iz matematike dok danas ipak oko 12000 učenika polaže višu razinu Državne mature iz matematike. Rezultati samo jedne godine teško mogu govoriti o trendovima, posebno zato što je važnija zadaća mature da pruži informacije o relativnim odnosima između učenika unutar jedne generacije i da učenicima osigura završnost srednjoškolskog obrazovanja.
Briga za poučavanje matematike u Hrvatskoj postoji, ali sustav je vrlo velik i promjene ne mogu doći preko noći. Kao primjer spomenimo PMF-ov europski projekt Mathematics Education – Relevant, Interesting and Applicable (MERIA) čiji je cilj bila promocija tzv. istraživački usmjerene nastave matematike, nastave koja bi više osnaživala učeničko propitivanje i povezivanje matematičkih pojmova i poticala njegovu inicijativu za traženje matematičkih odgovora. Za to je bilo potrebno pružiti podršku i nastavnicima, izraditi inovativne nastavne materijale, te provesti stručno usavršavanje nastavnika. Promjena paradigme poučavanja prema aktivnom učeniku zahtjeva drugačiju ulogu nastavnika i da bi se ta promjena dogodila nastavnik mora proći kroz određeni proces koji zahtjeva puno refleksije, razgovora s kolegama i u kojem skupljaju pozitivna i negativna iskustva. U sklopu projekta je oko 50 hrvatskih nastavnika prošlo kroz višemjesečni ciklus usavršavanja i smatramo da se usavršavanje takve kvalitete ne bi moglo provesti u manje vremena s puno većim brojem nastavnika. Projekt se prirodno nastavio novim projektom Teachers’ Inquiry in Mathematics Education (TIME) koji poseban naglasak stavlja na potencijal nastavnika za unapređenje vlastite prakse kroz određenu vrstu „matematičkog razgovora“ i interakciju s kolegama i sveučilišnim nastavnicima.
Ipak, imamo sjajne mlade matematičare, koji postižu i međunarodne uspjehe. Kako komentirate taj nesrazmjer?
Kad govorimo o našim natjecateljima, treba prije svega naglasiti da su to učenici koji ulažu jako puno svog slobodnog vremena kako bi savladali dodatne sadržaje i poboljšali svoje vještine rješavanja problema. Sustavno ih u tome podržavaju strukovne i studentske udruge, centri izvrsnosti i naravno mentori koji im predaju matematiku, ali čitav taj sustav podrške počiva na volontiranju. Dodatna nastava matematike je iznimno rijetko unutar službene satnice nastavnika, a entuzijasti koji najviše rade s natjecateljima su bivši natjecatelji koji su svjesni koliko je njima taj sustav pomogao i značio. Možemo biti sretni što u Hrvatskoj postoji takva kultura i tradicija, ali to i dalje ne znači da u redovnom programu daroviti nisu zanemareni. Među nastavnicima se polako razvija svijest o potrebi za diferenciranom nastavom, ali zasad je ona usmjerena uglavnom na učenike s poteškoćama, dok za nadarene učenike i dalje vrijedi „vjerujemo da će se snaći“.
S kakvim matematičkim predznanjima dolaze brucoši na vaš fakultet? Jeste li zadovoljni ili bi razina pripreme i znanja u srednjim školama mogla biti veća?
Na Matematičkom odsjeku PMF-a znamo da se upisuju učenici koji ostvaraju rezultate među najboljima na Državnoj maturi. Ipak, nerijetko možemo primijetiti da studentima nedostaje neki dio znanja, ali smo istovremeno svjesni da je sveučilišna matematika drugačija od školske, da je dinamika prijenosa znanja brža i „zgusnutija“, te da sveučilišni nastavnici mogu na različite načine amortizirati probleme s kojima se studenti susreću na prijelazu iz škole na fakultet. Svjesni smo i da je na studentima velika odgovornost za njihovo vlastito učenje i napredovanje.
PAMETNO ODVAGATI ŠTO TREBA UČITI U ŠKOLI
Gdje profesori matematike najčešće griješe? Postoje stručnjaci koji govore da djecu nepotrebno zamaramo ogromnim izračunima i zadatcima, a zapravo se sva matematička logika može naučiti s računalnim operacijama do 100… Odnosno, inzistiramo li previše upravo na mehaničkom rješavanju ogromnih zadataka umjesto da djecu učimo razmišljanju i logičkom zaključivanju?
Nepošteno je prebaciti odgovornost za pogreške u sustavu samo na nastavnike. Mislimo da nastavnici u velikoj mjeri prate nacionalne dokumente i udžbenike, pa bismo zapravo više trebali razgovarati o tome. Već samo korištenje riječi „reforma“ ukazuje na to da se očekuje da će se promjene dogoditi naglo, odjednom i da će u trenu sve biti drugačije. A zapravo se radi o procesu u obrazovanju, kako uvođenja i težnje prema novim ili drugačijim ciljevima, tako i stalnog propitivanja ideja i njihove realizacije. U budućnosti se možemo nadati da ćemo kao društvo više težiti postepenim, ali kontinuiranim promjenama.
Treba naglasiti da nastava matematike u Hrvatskoj nije nikad bila jako loša i da su naši nastavnici uvijek vodili brigu da se kroz poučavanje matematike učenike uči kako misliti. No, nedostaje svijest o tome da se matematika ne vježba, već razumije. Naši udžbenici obiluju mnogobrojnim suhoparnim zadacima i premalo se naglaska stavlja na razumijevanje koncepata i motivacije za njihovo uvođenje. Tu možemo učiti od obrazovnih sustava u drugim državama i istaknuti ideju jednog od najvećih istraživača matematičkog obrazovanja, Nizozemca Hansa Freudenthala koji je zagovarao da ono mora biti „realistično“, blisko učeniku i smisleno s obzirom na njegovo dosadašnje iskustvo. I da matematika kao „ljudska aktivnost“, dakle, bliska čovjeku, ima razloge svojeg postojanja, daje odgovore na (matematičke) probleme, i da se iz tog razloga uči. Nipošto ne da se učenici zamaraju s neobičnim detaljima ili da se samo traže greške u njihovim velikim rutinskim izračunima.
U matematičkom obrazovanju sudjeluje jako mnogo različitih nastavnika i među njima su mnogi koji su kreativno i s razumijevanjem pripremali nastavu i sad i prije. Uloga sustava je da podrži suvremeno obrazovanje nastavnika koji tek ulaze u sustav, pruži kvalitetno usavršavanje nastavnika u sustavu, te da stvori što bolje uvjete za održavanje nastave. Svemu navedenom potrebno je osigurati kvalitetnu podršku. Konačno, u tom pogledu se propustilo napraviti cjelovite promjene. Treba imati na umu i da je matematika tek dio onog što pojedini učenik uči, da taj univerzum nikako ne može biti beskonačan, te da treba za svako gradivo, kako matematike tako i ostalih premeta, pametno odvagati što se treba učiti u školi. Pogotovo u današnje vrijeme brzo i lako dostupnih informacija, te velike produkcije novog znanja.
Imate li i vi osjećaj da je geometrija nepravedno zanemarena u školskoj i fakultetskoj matematici? Zašto? Ja sam osobno najviše uživao upravo u geometriji.
Ovo pitanje je kao da smo se dogovorili, iako nismo. Nama je geometrija vrlo bliska znanstvenom području interesa u matematici i svakako vidimo da ima prostora za poboljšanje u poziciji geometrije unutar kurikuluma. No, tu ne bi trebalo pretjerivati u akademskom smislu ili dodavati puno novih sadržaja. Geometrija se može poučavati vrlo deduktivno (s puno definicija i dokaza) i to je većini učenika odbojno. S druge strane, geometrija prostora nudi mnogo poveznica sa stvarnim svijetom i trebali bismo težiti tome da se unutar nastave matematike te poveznice učine vidljivijim.
Postoji nekoliko manifestacija koje populariziraju matematiku. Od Večeri matematike do ovog Međunarodnog dana matematike. Što još akademska zajednica, sveučilišni matematičari mogu napraviti u polju popularizacije matematike i uklanjanja predrasuda, odnosno straha djece i mladih od matke, koju nerijetko doživljavaju kao bauk-predmet?
Popularizacije znanosti je plemenita aktivnosti i iziskuje poseban talent. Nije lako znanje pojednostaviti tako da bude lako razumljivo, a da zadrži svoju čar i vrijednost. Stoga treba zapljeskati pojedincima na velikom trudu koji ulažu u takve aktivnosti. No, ipak treba naglasiti važnost škole jer je to mjesto u kojem mladi ljudi provode velik dio svog vremena. Sveučilišna zajednica mora biti uključena u intervencije u obrazovanju na svim razinama, a u raspravama donijeti širu perspektivu, interpretacije rezultata istraživanja i nove ideje. Važno je da se nacionalne strategije, kurikulumi, udžbenici donose kroz suradnju nastavnika, akademske zajednice i predstavnika strukovnih udruga, te da se pritom postavljamo strateški i djelujemo institucijski, a ne na osnovu entuzijazma pojedinaca. Prvi korak je svakako otvaranje komunikacije i jačanje svijesti da je dijalog prijeko potreban.
